» » Estimasi Parameter Regresi Nonlinier Pada Fungsi Produksi Cobb-Douglas Menggunakan Metode Newton Raphson

Estimasi Parameter Regresi Nonlinier Pada Fungsi Produksi Cobb-Douglas Menggunakan Metode Newton Raphson

        Abstrak

    Ekonometrika adalah ilmu yang menggunakan analisis matematika dan teori statistik untuk menganalisis masalah-masalah dan fenomena-fenomena secara kualitatif (Firdaus, 2004). Ilmu Statistika yang berperan dalam ekonometrika adalah mengestimasi nilai parameter dari variabel-variabel yang diamati. Pada proses estimasi parameter, terdapat dua model yang dapat digunakan yaitu model linier dan model non linier. Sifat linear dan non linear dalam model, diselidiki berdasarkan persamaan model yang dihasilkan untuk menduga parameter variabel-variabel penelitian. Salah satu contoh model non linier yang umum digunakan adalah Cobb-Douglas. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk mengestimasi parameter Cobb Douglas diantaranya adalah Least Square dan Newton Raphson. Dalam penelitian ini estimasi parameter yang digunakan yaitu Estimasi Newton Raphson. Dengan hasil yang diperoleh \(\beta_{(m+1)}=\beta_{(m)}-{\bf{H}}^{-1}_{(m)}g_{m}\), dimana \(g_{(m)}\) adalah vektor gradien dari model Cobb Douglas dan \({\bf{H}}^{-1}_{(m)}\) adalah matriks hessian dari model Cobb Douglas.

            Kata Kunci : Cobb Douglas. Newton Raphson

Pendahuluan

        Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresntasikan data (Harini, 2008). Penggunaan metode statistik dalam penelitian ilmiah sebetulnya telah dirintis sejak tahun 1880 ketika F.Galton pertama kalii menggunakan korelasi dalam penelitian ilmu hayati. Ketika itu, penggunaan metode statistik dalam penelitian biologi maupun sosial tidak dapat dikatakan lazim. 

        Ekonometrika adalah sebagian ilmu yang menggunakan analisis matematika dan teori statistik untuk menganalisis masalah-masalah dan fenomena-fenomena secara kualitatif (Firdaus, 2004). Dalam ekonometrika ilmu statistik yang dapat digunakan adalah mencari nilai parameter. Dalam statistik terdapat dua model yaitu model statistik linier dan model statistik non linier. Sifat non linier dalam suatu model dapat terjadi dalam parameter, non linier dalam variabel keduanya. Salah satu contoh model non linier adalah Cobb-Douglas.

        Seperti halnya model linier, estimasi parameter model non linier didasari pada minimisasi atau iteratif suatu fungsi objektif yaitu metode Least Square Estimation(LSE)  dan Newton Raphson. Estimasi parameter menggunakan LSE  dilakukan dengan meminimumkan residualnya sum of square yaitu sum of squar error yang memberikan titik paling minimum.

        Model yang diberikan pada fungsi produksi membentuk fungsi Cobb-Douglas , sedemikian sehingga model yang diberikan menyerupai model regresi non linier. Sehingga estimasi parameter yang dapat digunakan adalah menggunakan estimasi parameter pada regresi non linier model Cobb-Douglas dengan pendekatan LSE dengan prosedur iterasi Newton Raphson.

Teori

1. Model Non Linier

Persamaan non linier adalah persamaan dalam bentuk polinomila yang variabelnya berderajat lebih dari satu atau kurang dari satu dan terjadi perkalian antar variabelnya. Model statistik nonlinier merupakan suatu fungsi yang menghubungkan variabel terikat Y  dengan variabel bebas X yang sifatnya tidak konstan untuk setiap perubahan X (Purwanto, 2009).

Pada model nonlinier ada beberapa model yang dapat ditransformasikan dari bentuk awal nolinier kemudian ditransformasikan ke bentuk linier dan ada pula yang tidak dapat ditransformasikan ke bentuk linier.

Menurut Syamsuddin (2006), pada umumnya realiitas perekonomian dapat dilakukan dengan pendekatan secara linier atau ditransformasi dalam bentuk linier. Namun demikian banyak juga model nonlinier yang tidak bisa ditransformasi ke bentuk linier. Oleh karena itu, estimasi model nonlinier diperlukan. Salah satu cara untuk menaksir parameter dari model nonlinier yaitu dengan meminimumkan (LSE) fungsi objektifnya.

Menurut Syamsuddin (2006), dalam penentuan penaksiran pada model nonlinier dibutuhkan pengetahuan mengenai static optimization theory. Yaitu dengan mengoptimumkan  dengan cara melakukan optiimalisasi iterasi dalam penaksirannya. Menurut Hasan(2002) ada beberapa macam bentuk nonlinier yang dapat ditransformasi yaitu bentuk power, bentuk eksponensial, dan bentuk resiprokal. 

  • Bentuk Power
\(y_i=\beta_0X^{\beta_i}_ie_i\),        \(i=1,2,3,...,n\)        (1.1)

Pada persamaan (1.1) dapat dilakukan dengan transformasi logaritma, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:

\(ln(y_i)=ln({\beta_0X^{\beta_i}}e_i)\)

\(=ln(\beta_0X^{\beta_i})+ln(e_i)\)

\(=\beta_iln(\beta_0X_i)+ln(e_i)\)

\(=\beta_iln(\beta_0)+ln(X_i)+ln(e_i)\)        (1.2)

Maka didapatkan persamaan (1.2) adalahbentuk power setelah ditranformasikan termasuk dalam bentuk linier.

  • Bentuk Eksponensial
\(y_i=exp(X_i\beta)e_i\),        \(i=1,2,3,...,n\)        (1.3)

Pada persamaan (1.3) dapat dilakukan dengan transformasi logaritma, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:

\(ln(y_i)=ln(exp(X_i\beta)e_i)\)

\(=ln(exp(X_i\beta))+ln(e_i)\)

\(=X_i\beta+ln(e_i)\)            (1.4)

Maka didapatkan persamaan (1.4) adalah bentuk eksponensial dari bentuk linier, sehingga perlu bentuk transformasi menjadi bentuk linier.

\(y^*_i=X_i\beta+e^*_i\)        (1.5)

  • Bentuk Resipokal

\(y_i=\beta_1+\beta_2\left(\frac{1}{X_i}\right)\),        \(i=1,2,3,...,n\)        (1.6)

Persamaan (1.5) merupakan model non linier pada variabel \(X\), karena variabel tersebut memasukan model secara terbalik. Model ini linier dalam \(\beta_1\) dan \(\beta_2\), akan tetapi model ini juga dapat dikatakan sebagai model linier dalam parameter dan linier dalam variabel jika dimisalkan \(X^*_i=\frac{1}{X_i}\) .

2.  Estimasi Parameter

Statistika inferensi adalah metode statistika yang digunakan untuk menarik inferensi atau rampatan atau kesimpulan dari suatu populasi dengan informasi dari sampel yang diambil dari populasi tersebut. Dalam metode klasik, inferensi didasarkan sepenuhnya pada informasi yang diperoleh melalui sampel acak yang diambil dari populasi. Secara garis besar statistika inferensi dapat dibagi dua, yaitu penaksiran atau estimasi dan pengujian hipotesis (Ahfazy Fauzy, 2015).

Secara umum estimasi adalah dugaan atas sesuatu yang akan terjadi dalam kondisi tidak pasti. Estimasi adalah keseluruhan proses yang menggunakan sebuah estimator untuk menghasilkan sebuah estimasi dari suatu parameter. Data yang digunakan untuk melakukan estimasi parameter populasi adalah statistik sampel sebagai estimator (Ahfazy Fauzy, 2015).

a.      Metode Estimasi dengan Least Square

Metode kuadrat terkecil adalah salah satu metode yang popular dalam mengestimasi nilai rata-rata(central moments) dan variabell random. Model fungsional umum tentang sistem yang diamati harus ditentukan terlebih dahulu. Model fungsional terlebih dahulu harus ditentukan jumlah variabel yang digunakan dan hubungan antar variabel tersebut (Firdaus, 2004).

Metode Ordinary Least Square (OLS) merupakan salah satu metode bagian dari Least Square. Dalam penggunaanya ada beberapa asumsi yang harus terpenuhi yaitu berupa asumsi dasar yang harus mendapatkan estimator yang tidak bias.

Misalkan terdapat persamaan model statistik linier

\(\bf{Y}=\bf{XB}+\bf{e}\)        (1.7)

Variabel \(\bf{e}\) sangat memegang peran penting dalam moodel ekoonometrika, akan tetapi variabel ini tidak dapat diteliti dan tidak pula tersedia informasi tentang bentuk distribusi kemungkinannya. Disamping asumsi distribusi probabilitasnya, beberapa asumsi yang diperlukan dalam menerapkan metode OLS khususnya statistikanya.

Berkaitan dengan model regresi yang telah dikemukakan, Gauss telah membuat asumsi mengenai error sebagai berikut.

1.  Nilai rata-rata atau harapan \(\bf{e}\) adalah sama dengan nol atau \(E(\bf{e})=0\)

2.  Tidak terdapat korelasi serial atau autokorelasi antar variabel untuk setiap observasi.

3.  Variabel \(X\) dan \(e\) adalah saling tergantung untuk observasi.


Untuk isi paper lebih lanjut silahkan di klik tautan ini.